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名字命名的原理，与虚位移原理结合起来，可以得出质点系动力学问题的分析解法，产生了分析力学。这一工作是由法国数学家j.拉格朗日于1788年完成的，他推出的运动方程，称为拉格朗日方程，在某些类型的问题中比牛顿方程更便于应用。后来爱尔兰数学家w.哈密顿于19世纪也推出了类似形式的方程。拉格朗日方程和哈密顿方程在动力学的理论性研究中具有重要价值。
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滑轮组是由由多个动滑轮、定滑轮组装而成的一种简单机械，既可以省力也可以改变用力方向。滑轮组的省力多少由绳子股数决定，其机械效率则由被拉物体重力、动滑轮重力及摩擦等决定。
在后世，滑轮组是由若干个定滑轮和动滑轮匹配而成，可以达到既省力又改变力作用方向的目的。使用中，省力多少和绳子的绕法，决定于滑轮组的使用效果。动滑轮被几根绳子承担，力就是物体和动滑轮总重的几分之一。原则是：n为奇数时，绳子从动滑轮为起始。用一个动滑轮时有三段绳子承担，其后每增加一个动滑轮增加二段绳子。如：n=5，则需两个动滑轮（3+2）。n为偶数时，绳子从定滑轮为起始，这时所有动滑轮都只用两段绳子承担。如：n=4，则需两个动滑轮（2+2）。
其次，按要求确定定滑轮个数，原则是：一个动滑轮一般配一个定滑轮。力作用方向不要求改变时，偶数段绳子可减少一个定滑轮；要改变力作用方向，需增加一个定滑轮。
综上所说，滑轮组设计原则可归纳为：奇动偶定；一动配一定，偶数减一定，变向加一定。
对于绕绳方法，有一点切记:绳不可相交.其实绕绳难的就数滑轮组拉，只要掌握了要决，那就一点不难拉.滑轮组在绕线时如果动滑轮少那么要先从定滑轮绕起;反之要定滑轮少，那么要先从动滑轮绕起;如果一样多的话还是要先绕动滑轮。
滑轮组是由一定数量的定滑轮和动滑轮以及绕过它们的绳索组成。滑轮组具有省力和改变力的方向的功能，是起重机械的重要组成部分。滑轮组共同负担构建重量的绳索根数称为工作线数。通常，滑轮组的名称以组成滑轮组定滑轮与动滑轮的数目来表示。如由四个定滑轮和四个动滑轮组成的滑轮组称为四四滑轮组。
为了既节省力又能改变动力的方向，可以把定滑轮和动滑轮组合成省力的大小没有既省力又省距离的滑轮
使用滑轮组时，滑轮组用几段绳吊着物体，提起物体所用的力就是物重的几分之一。
用滑轮组做实验，很容易看出，使用滑轮组虽然省了力，但是费了距离动力移动的距离大于货物升高的距离。
画滑轮组的绕法，首先要分析题目要求，是要减轻几倍力（f=g/n，n）为承担重物的绳子的段数。注：如果n是偶数，那么绕线的起始点在上面的定滑轮上；如果n是奇数，那么绕线的起始点在下面的动滑轮上。
这种情况即“奇动偶定”定理。
……
只不过由于仅仅是凭借滑轮组这种东西，对于手弩的相应设计没有更多地帮助，因为滑轮组的存在本身就有一种难以进行固定的缺陷。
而在手弩的设计当中，这个缺陷也得到体现。
而一旦在作战时候一个滑轮出现松脱现象或者是打滑什么的，仅仅是凭借两段的夹板固定，还是会出现相应的问题。
要是在这方面出现问题，那么很有可能会让这个手弩失去原有的作战效率甚至是暂时无法使用。
而为了改善这个问题，张嘉师提出一点，那就是将这些滑轮制作成齿轮样式的圆轮再进行相应设计生产。
……
齿轮与滑轮差不多是东西方都在更早的时候就生产出来的东西。
在西方，公元前300年古希腊哲学家亚里士多德在《机械问题》中，就阐述了用青铜或铸铁齿轮传递旋转运动的问题。希腊著名学者亚里士多德和阿基米德都研究过齿轮，希腊有名的发明家古蒂西比奥斯在圆板工作台边缘上均匀地插上销子，使它与销轮啮合，他把这种机构应用到刻漏上。这约是公元前150年的事。在公元前100年，亚历山人的发明家赫伦发明了里程计，在里程计中使用了齿轮。公元1世纪时，罗马的建筑家毕多毕斯制作的水车式制粉机上也使用了齿轮传动装置。到14世纪，开始在钟表上使用齿轮。
东汉初年已有人字齿轮。三国时期出现的指南车和记里鼓车已采用齿轮传动系统。晋代杜预发明的水转连磨就是通过齿轮将水轮的动力传递给石磨的。史书中关于齿轮传动系统的最早记载，是对唐代一行、梁令瓒于725年制造的水运浑仪的描述。北宋时制造的水运仪象台运用了复杂的齿轮系统。明代茅元仪著《武备志》（成书于1621年）记载了一种齿轮齿条传动装置。
1956年发掘的河北安午汲古城遗址中，发现了铁制棘齿轮，轮直径约80毫米，虽已残缺，但铁质较好，经研究，确认为是战国末期到西汉期间的制品。
1954年在山西省永济县蘖家崖出土了青铜棘齿轮。参考同坑出土器物，可断定为秦代(公元前221～前206)或西汉初年遗物，轮40齿，直径约25毫米。关于棘齿轮的用途，迄今未发现文字记载，推测可能用于制动，以防止轮轴倒转。1953年陕西省长安县红庆村出土了一对青铜人字齿轮。根据墓结构和墓葬物品情况分析，可认定这对齿轮出于东汉初年。两轮都为24齿，直径约15毫米。衡阳等地也发现过同样的人字齿轮。
早在1694年，法国学者philippedelahire首先提出渐开线可作为齿形曲线。1733年，法国人m.camus提出轮齿接触点的公法线必须通过中心连线上的节点。一条辅助瞬心线分别沿大轮和小轮的瞬心线(节圆)纯滚动时，与辅助瞬心线固联的辅助齿形在大轮和小轮上所包络形成的两齿廓曲线是彼此共轭的，这就是camus定理。
它考虑了两齿面的啮合状态；明确建立了现代关于接触点轨迹的概念。1765年，瑞士的l.euler提出渐开线齿形解析研究的数学基础，阐明了相啮合的一对齿轮，其齿形曲线的曲率半径和曲率中心位置的关系。后来，savary进一步完成这一方法，成为eu-let-savary方程。对渐开线齿形应用作出贡献的是roteftwulls，他提出中心距变化时，渐开线齿轮具有角速比不变的优点。1873年，德国工程师hoppe提出，对不同齿数的齿轮在压力角改变时的渐开线齿形，从而奠定了现代变位齿轮的思想基础。
19世纪末，展成切齿法的原理及利用此原理切齿的专用机床与刀具的相继出现，使齿轮加工具备较完备的手段后，渐开线齿形更显示出巨大的优越性。切齿时只要将切齿工具从正常的啮合位置稍加移动，就能用标准刀具在机床上切出相应的变位齿轮。1908年，瑞士maag研究了变位方法并制造出展成加工插齿机，后来，英国bss、美国agma、德国din相继对齿轮变位提出了多种计算方法。